Синусоида: 4 параметра математики в электротехнике

ОБС!… (одна баба спросила): почему синусоида переменного тока 220 так возбуждает двигатель перфоратора, что тот долго долбит бетонную стену? Почему шуруповерт сходит от нее с ума, но не может нормально работать?

Дальше в статье показываю, как создается график функции этой волнительной кривой линии, какие у нее характеристики и как они работают. Читайте.

Синусоида – это что за кривая и как она создается

Синусоида и синус – однокоренные слова, обозначающие разные графические объекты с зависимыми характеристиками.

Синус: базовый элемент графика

Синус или sinus (сокращение – sin) – характеристика угла, выраженная отношением противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Отношение катета к гипотенузе (безразмерная величина) позволяет измерять величину угла так же, как угловые градусы или радианы.

Синусы углов приведены в различных справочниках и таблицах, например, у Брадиса, где они представлены дискретными значениями. Использовать числа при анализе сложных процессов не всегда удобно. Более наглядно показать их графически неразрывной линией.

Как строится синусоида в математике

Для ее построения:

• длина гипотенузы принимается за единицу и используется как радиус окружности описанной из центра острого угла;
• центр декартовых координат откладывается по линии прилежащего катета. На этой же оси абсцисс размечаются значения углов в градусах (от 0 до 360);
• по оси ординат отмечается величина противолежащего к углу катета (y) и переносится на соответствующую ему позицию оси абсцисс α;
• процедура повторяется для каждого последующего значения угла α;
• полученные точки апроксимируются, образуя сплошную линию.

Круговое вращение радиуса единичной окружности (изменение угла α) создает графическое представление тригонометрической функции в виде волнистой линии на плоскости.

Ее можно построить компьютерными программами. Попросил бота Искусственного Интеллекта раскрыть тему: как построить синусоиду в Excel (Эксель). Он мне ответил.

Эту инструкцию не проверял: оставил вам для оценки в комментариях сайта.

График синусоидальной функции применяется в различных областях науки и техники: математике, электротехнике, механике, физике, оптике, светотехнике, акустике и других.

Как создается синусоида в электротехнике

В магнитное поле помещается вращающаяся с угловой скоростью ω металлическая рамка (ротор). На ее выводах наводится синусоидальная ЭДС.

На оси абсцисс угловые величины в градусах заменены отрезком времени t: ротор вращается длительно, совершая много оборотов. Но, для упрощения понимания показываю этот процесс одним оборотом.

Реальный синусоидальный график ЭДС холостого хода генератора однофазной сети имеет вид чередующихся периодов, соответствующих каждому обороту ротора.

В современной энергетике используются трехфазные схемы. Они объединяют в себе сразу 3 системы передачи электрической мощности: один генератор вырабатывает 3 синусоидальных ЭДС.

Система электроснабжения такого генератора однофазных и трехфазных потребителей имеет примерно следующий вид.

С выводов генератора напряжение по линии питания подходит к потребителям, обладающим электрическим сопротивлением. Оно может быть:

• активным с резистивной нагрузкой;
• либо реактивным;
  • емкостным;
  • или индуктивным.

По закону Ома через эти сопротивления протекают синусоидальные токи, отличающиеся друг от друга. Их отличия разберем ниже.

А сейчас приведу 2 фото синусоид напряжений и токов, зафиксированных с помощью микропроцессорного регистратора сигналов на линии 330кВ.

История записи:

• возникновение короткого замыкания фазы С на землю;
• определение аварийной ситуации;
• ее отключение от 1-й ступени НТЗНП и ДФЗ-504 через ОАПВ с последующим успешным включением от ОАПВ;
• прием и передача ВЧ команд по высокочастотному тракту.

Поскольку возможности этого веб-ресурса ограничены, то мелкие детали графики размыты. Их дополнительно смотрите на скриншоте №1 здесь, а №2 – здесь.

Осциллограмма шкалой времени показывает 4 этапа работы линии:

1. 0-100 миллисекунд (мс) – нормальный режим до возникновения КЗ;
2. 100-200 мс – режим КЗ. Продолжительность 0,1 секунды;
3. 200-1200 мс – отключение КЗ защитами;
4. 1200-1600 мс –восстановление питания через ОАПВ.

Сверху вниз представлены 8 графиков:

• 4 синусоиды напряжения:
  • 3 фазы А, В, С;
  • и их геометрическая сумма 3U0;
• 3 фазы токов А, В, С и их геометрическая сумма 3I0.

Вертикальная красная линия на обоих скриншотах – указка, управляемая курсором мыши. Ее положение выбрано для режима КЗ. При этом слева от обозначения фаз показываются значения функций для указанного момента времени.

На скриншоте №2 показана векторная диаграмма синусоид для положения указки.

С помощью таких осциллограмм релейщики анализируют аварийные и нормальные режимы работы энергетического оборудования, обращая внимание на параметры, рассматриваемые ниже.

4 свойства, определяющие качество синусоиды

Амплитуда и размах – 2 взаимосвязи

В механике амплитудой называют наибольшее смещение колебательного процесса от положения равновесия, а у электриков и математиков – максимальное значение ординаты синусоиды. Учитывается знак + или – каждой полуволны.

Размах – расстояние по вертикали между точками амплитуд положительной и отрицательной полуволн. Им удобно измерять гармоники, созданные лучом света от гальванометра на фотобумаге или фотопленке.

Амплитуда в энергетике имеет размерность и выражается в вольтах для напряжений и амперах – токов с учетом приставок дольности и кратности.

На скриншотах КЗ амплитуда тока фазы С подпрыгнула с 0,14 до 5,76 кА, а напряжение на ней упало с 220 кВ до 6,7.

Период колебания как фактор времени

Время, за которое радиус-вектор совершает полный оборот, проходя 360 градусов, называют периодом. Обозначают Т. Измеряют в секундах с учетом дольности. Половина периода – 180о.

Период колебания промышленной частоты в нашей стране составляет 0,02 секунды.

Частота: 2 государственных норматива

Частота показывает сколько оборотов совершает ротор генератора за 1 секунду. Обозначают f. Размерность в герцах – Гц.

Поскольку 1 оборот соответствует по времени периоду в 0,02с, то ее вычисляют по формуле f=1/T=1/0,02=50Гц. Она действует во всех странах бывшего СССР. На американском континенте ее величина – 60 Гц. Такая разница не критична для абсолютного большинства бытовых потребителей.

Фаза – самый сложный термин

Это определение имеет двоякое значение. Важно понимать разницу.

Электрический ток протекает только по замкнутому контуру и поступает к потребителю по двум проводам. Один из них заземлен на трансформаторной подстанции. Его называют нулем, а другой – фазой.

Но мы рассматриваем другую фазу– угловую характеристику синусоиды. У трехфазного генератора обмотки разнесены на 120 градусов. На такую же величину угла сдвигаются синусоиды напряжения относительно друг друга. Электрики говорят: сдвиг по фазе (обозначение φ) – 120о.

Профессионализм энергетиков состоит в том, что они: по всей стране запустили множество генераторов гидро-, ветро-, тепло-, атомных и других видов электростанций; соединили их электроэнергию воедино энергетическим потоком; распределили его по потребителям, удаленным на многие тысячи километров. При этом: все генераторы работают совершенно стабильно, совершая 1 оборот ротора за 0,2 секунды; фазы всех синусоид совпадают по углу (сфазированы).

Однако надо учитывать, что каждое напряжение, при подключении на нагрузку, создает свою синусоиду тока, которая:

• совпадает по фазе на резистивном сопротивлении;
• опережает на 90 градусов на емкостном;
• отстает на 90о на индуктивном.

Синусоида и косинусоида

Сравнивая 2 синусоиды тока, протекающие через резистор и конденсатор, можно заметить, что они отличаются по фазе на 90о, образуя прямой угол. Это синусоида и косинусоида.

Косинусоида формируется по тем же правилам, что и синусоида, но в ее основе заложен косинус (cos) а не sin: отношение прилежащего катета к гипотенузе. Она начинается с максимального значения(амплитуды) при t=0, а не минимального.

Формула синусоиды

Формула позволяет найти значение функции y в зависимости от времени t.

Уравнение имеет следующий вид: y=A·sin(ωt+φ), где:

• A – амплитуда;
• ω — частота колебаний функции, выраженная в радианах в секунду;
• t – время;
• φ — начальная фаза.

Синусоида в векторной форме как инструмент анализа

Векторная форма, представленная встроенной картинкой на скриншоте №2, значительно облегчает оценку процессов, протекающих в электрических цепях. Векторное построение отображает совокупность нескольких векторов одинаковой частоты в определенный момент времени.

Векторная диаграмма строится в полярной системе координат, где:

• длина вектора, соответствует числовому значению амплитуды функции, построенной в масштабе;
• угол его наклона равен фазе и отсчитывается по направлению вращения часовой стрелки.

Пример векторных диаграмм рабочего режима электроснабжения в трехфазной системе с возникновением однофазного КЗ и отключением аварии показан на картинке ниже.

Во всех режимах генераторы электростанций выдают в сеть одинаковую электрическую мощность и частоту 50Гц.

Нормальный режим обеспечивает симметричную подачу напряжений и токов нагрузок.

При замыкании одной фазы на землю в ней резко (на порядок) возрастает ток (пропорционально уменьшению сопротивления – зависимость закона Ома). Поскольку мощность генератора не изменилась, то на этой же фазе снижается напряжение.

При отключении КЗ выключателем ток пропадает и напряжение возрастает до значения холостого хода. Если причина аварии самоустранилась за время отключения, то система переводится в нормальный режим работы.

Меандр или модифицированная синусоида

Пришла пора ответить на вопрос, заданный в начале статьи:

1. Перфоратор создан для питания от синусоиды тока с напряжением сети 220 вольт (аккумуляторные модели пока исключим). Он может работать длительно.
2. Двигатель шуруповерта питается от аккумулятора 12 вольт. Ток постоянный. Напряжение 220 для него не подходит: сгорит обмотка.

Однако существует вариант подключения шуруповерта к напряжению 220 В через блок питания, что иногда делают при вышедшем из строя аккумуляторе.

Бывают случаи, когда надо работать электроинструментом, а сети 220 нет. В этом случае используют аккумуляторные батареи с преобразователем постоянного тока в меандр или модифицированную синусоиду. Показываю принцип их создания.

Меандр – наиболее простое преобразование из серии положительных и отрицательных импульсов прямоугольной формы.

Для формирования положительного импульса достаточно подать на нагрузку постоянное напряжение и отключить его через один полупериод. Отрицательный импульс дополнительно формируется сменой полярности.

Величина напряжения у меандра соответствует действующему, а не максимальному значению.

На практике меандр не применяют. При резкой смене полярности появляется сложная зависимость от переходных процессов. Поэтому при переключении гармоник обеспечивают паузу, формируя модифицированный синус.

Эту простую форму сигнала постоянно усовершенствуют за счет создания дополнительных ступенек, используя более дорогие преобразователи.

Наиболее качественное создание модифицированной синусоиды происходит при использовании принципов широтно импульсной модуляции (ШИМ).

Ее импульсы позволяют получить качественный сигнал.

Я попытался написать статью так, чтобы кратко раскрыть тему. Много материала не поместилось. Пишите свои вопросы в комментариях сайта, буду отвечать.